わいひら

子テーマのheader-insert.phpに記述すればできるかと思います。

申しわけないですが、サポート対象外のものにもあるように、プラグインを利用したもののカスタマイズについてはサポート外とさせていただいています。
状態を見ようにも、会員ページなので、確認出来そうもないので。

Simplicityでは、以下の手段で実装しています。
https://nelog.jp/wordpress-mobile-slide-in-menu
https://nelog.jp/wordpress-sidr

ただ、個別カスタマイズはサポート外となるので、詳しいサポートはできませんのでご了承ください。

動作確認ありがとうございます。

Google Search Consoleヘルプでは、重複コンテンツはできるだけ1つにまとめることが推奨されています。

類似するコンテンツをできるだけ少なくする: 類似するページが多数存在する場合は、各ページに内容を追加するか、または 1 つにまとめます。たとえば、旅行サイトで 2 つの都市を別々のページで紹介しているが、ページ内の情報は同じである場合は、両方の都市を紹介する 1 つのページにまとめるか、各ページに内容を追加して、それぞれの都市に関する独自のコンテンツを含めます。

重複するコンテンツ – Search Console ヘルプ

多少の重複コンテンツは、問題ないと思いますが、あまりにも多くの類似コンテンツがあると、Googleがどう判断するかだと思います。

headタグ内にJSON-LD等を利用して、サムネイルの構造化データ記述をしてやればできるかと思います。
https://qiita.com/kuro-wassan/items/dc324eb3d5fc2b10bab0

ただし、サポート対象外のものにもあるように、PHPでコストのかかるカスタマイズはサポートの対象外とさせていただいているので、自前で行うか、プロの方にご依頼いただくかでカスタマイズしていただければと思います。

Regenerate Thumbnailsプラグインを用いて、画像の再生成をしてみられましたか？
Simplicityテーマをインストールして画像のアスペクト比が狂うときにやって欲しいこと

ただ、サポート対象外のものにもあるように自前でのカスタマイズは、こちら側からコード動作を確認することはできないので、サポート外とさせていただいています。

基本的に独自カスタマイズは、原因を探れないので、自前で解決していただく必要があります。
あくまで推測程度しか書けません。

独自カスタマイズをした場合は、実物を見てみないと何とも言えません。
該当ページのURLを貼っていくだけますでしょうか。

取得が遅いということであれば原因としては、最近のアップデートで取得間隔が遅くなったからではないでしょうか。

Facebookにて1時間あたりのAPIコール数等の制限が以前より厳しくなったことを踏まえ、一度にチェックするコンテンツ数、チェック間隔のデフォルト値を調整しました。

引用：WordPressプラグイン SNS Count Cache Ver. 1.0.0の公開 | logicore.cc

プラグインの動作については、プラグインの作者にご確認をお願いいたします。

新テーマのCocoonでは、これでうまくいったんですけどね。

ただ、よくよくコードを見直してみるとこれならうまくいくかも。

//URLの正規表現

define('URL_REG_STR', '(https?|ftp)(:\/\/[-_.!~*\'()a-zA-Z0-9;\/?:\@&=+\$,%#]+)');

//figure.wp-block-embedとdiv.wp-block-embed__wrapperの除外
add_filter('the_content', 'remove_wp_block_embeds');
if ( !function_exists( 'remove_wp_block_embeds' ) ):
function remove_wp_block_embeds($the_content){
  $the_content = preg_replace('/<figure class="[^"]+"><div class="wp-block-embed__wrapper">(.*?'.URL_REG_STR.'.*?)<\/div><\/figure>/is', '$1', $the_content);
  return $the_content;
}
endif;

これでダメなら、書かれた方法で行った方が良いかもしれません。

こんな感じのCSSを子テーマのstyle.cssに書けばいけるかと思います。

.blog-card-footer {
    display: none;
}

.blog-card {
    min-height: 130px;
}

可能は可能ですけど、PHPをカスタマイズする必要があるかと思います。

CSSを用いれば、非表示にはできるかと思います。
ただその際には、実際のページのURLが必要になるかと思います。

私が管理している別ブログ（simplicity2.7.7、子テーマで同じようにカスタマイズ）では問題ありませんでした。

別ブログと何が違うのかを精査してみるしかないかもしれません。

子テーマのfunctions.phpに以下のコードを貼り付けて、改善するか確認していただけますか？

//figure.wp-block-embedとdiv.wp-block-embed__wrapperの除外
add_filter('the_content', 'remove_wp_block_embeds');
if ( !function_exists( 'remove_wp_block_embeds' ) ):
function remove_wp_block_embeds($the_content){
  $the_content = preg_replace('/<figure class="wp-block-embed"><div class="wp-block-embed__wrapper">(.*?'.URL_REG_STR.'.*?)<\/div><\/figure>/is', '$1', $the_content);
  return $the_content;
}
endif;

これは、エディターにワードのように入力されているのでしょうか？

エディターに入力してるHTMLのソースコードをいただければと思います。

以下の画像（ブログカード）の赤枠部分ということでよろしいでしょうか？
https://wp-simplicity.com/wp-content/uploads/2019/05/2019-05-07_19h37_22.png

申し訳ないですが、画面を見ただけでは、どういった不具合なのかがちょっとよくわかりませんでした。

お手数ですが、問題がある状態のスクリーンショットを撮影して、アップしていただいてよろしいでしょうか。
アップローダに関するものはいかに案内があります。
https://wp-simplicity.com/suport/topic/uploaders/

こちらの「赤のアンダーライン」のように書けばできるかと思います。
https://wp-simplicity.com/extended-basic-class/
デベロッパーツールで、CSSを見れば、色の変更方法もわかるかと思います。

個別投稿に設定させるものではないですけど、カテゴリごとにアイキャッチ画像を指定するプラグインならあるようです。
wordpressのアイキャッチをカテゴリ別するプラグインDefault Thumbnail Plusの使い方と優先度 | ebookbrain

エントリーカード(.entry-card)要素の.stickyクラスを用いてCSSで装飾を行えば、目立たせることは可能かと思います。
先頭の記事だけ全文表示は、比較的難しめのPHPのカスタマイズをしないとできないかと思います。

かうたっくさんの書き方で問題ないと思われます。
子テーマのstyle.cssに貼り付けてみてもらえますか。
それでも反映されない場合は、案内にもあるように原因を探るため該当ページのURLを貼り付けていただければと思います。

ソースコード部分に「Quick Adsense WordPress Plugin」と入力されています。
おそらく、プラグインか何かで広告を設定されているのではないでしょうか。
https://ja.wordpress.org/plugins/quick-adsense/
僕は使ったことがないのですが、プラグインで広告の設定を見直してみる必要があるのかもしれません。
もしくはプラグインを停止するとか。

だとしたら、Facebookの仕様が変わったんだと思います。
他のテーマでも同様に表示されなくなったので。
ずっとこれについては、調査してみる必要があるので、ちょっと時間がかかるかもしれません。

Akiraさんが書かれている通りです。
PageSpeed Insightsのものに対応させるには、対応しているプラグインをインストールするしかないかもしれません。