関連記事は設定もあったと思いますが、基本的に同じカテゴリーのものが表示されたかと思います。
ちょっとfunctions.phpを見てみると、今見ているページのカテゴリを調べて、それと同じもののなかからランダムで拾ってきているようです。
カスタマイザーの設定で、カゴリではなくタグで関連記事を出す場合は、仕組みは同じようにして表示しているみたいなので、同じカテゴリあるいはタグで書かれた記事がないのではなかろうかと思います。
もし同じカテゴリの記事があるなら他の原因があります。
例えばプラグインとか。
> ブログカードがURLを挿入しても表示されません。
このurlは自サイトのものですか?それとも外部サイト?
忘れてしまいましたが、おそらくブログカード自体はデフォルトで有効になっていたと思います。ただ、外部リンクのブログカードはカスタマイザーで有効にしないといけなかったように思います。
よって、urlは自サイトのものですか?それとも外部サイト?で若干設定が異なります。
また念の為、テキストモードにした状態で、例えばlinkボタンで過去の記事を検索して表示されたアドレスをコピー、いったんlinkの画面を閉じて、記事に貼り付けてプレビューを見てみます。
これで表示されるなら原因はビジュアルモードなので、だいたいの内容を書いた後、テキストモードにして任意の場所にアドレスを貼り付けるなりしてみて下さい。
それでも上手く行かない場合は他の原因があります。
例えばプラグインとか(笑)