ウチではwordpressの設定で、メニュー→メニュー構造で順番を変えれば、その順番で表示されるんですけれども(リストの子要素も同様に変更できます)、
>カスタマイズ画面上では順番の変更が反映されるのですが、
>公開ページを見てみると順番は元通りで変わっていません。
この部分から、キャッシュが残っているのではないかと思ったりもします。キャッシュプラグインを停止したり、ブラウザのキャッシュを消去してから再度確認されてはいかがでしょうか?
うちのサイトで、SITEMAPは今までABOUTの左側にありました。webプログラムと言うのを新設して、jQuery,css,phpという並びをcss,jQuery,phpにしましたがそれで反映されています。