シンプリシティのCSSに書き込みができない

何がしたいかというと、SNSシェアボタンを設置したいと考えています。

> 書き込み後、保存して公開のボタンを押すのですが、
> 更新が終了せず書き込みの保存ができません。

書き込み後が何を意味しているのかが不明瞭ですが、wordpressで直接なら、ファイルの書き込みパーミッションを確認して下さい。
読み込みはできても書き込みができない権限になっているのではなかろうかと。

基本的に、web上からファイルにアクセスできないようにしてあるのはセキュリティ的には正解です。
cssは書き込めるようにしても多くの場合問題はないかと思いますが、パーミッションの問題であれば、「誰が書き込めるか」という所がポイントです。

オーナーは書き込めるが、グループやその他で書き込めない(例えば600とか604とか)となってれば606にする必要があるかも知れません。もしかすると、wp-contentやthemesなどの親ディレクトリが700とかになっている可能性も無きにしもあらず。705あるいは707にする必要があるすも知れません。
ここらはサーバーの運営会社のマニュアル等を参考にして下さい。

パーミッションを確認するぐらいであればftpを使うことになるかと思うので、ローカルで何かしらのシンタックスチェックができるようなテキストエディターとかIDEを利用して編集したものをサーバーにアップロードして下さい。
アップロードの前には必ず変更前のバックアップを取るようにして下さい。
cssの場合はここまで厳密にする必要はありませんが、例えcssと言えど記述に問題がある場合はスタイルが崩れたり、不具合を起こす場合もあります。
それらをパッと見てわかるのであればパーミッションの確認をして書き込めるようにするだけでおそらくはイケるでしょうし、wordpress上から直接編集してもよいかと思います。

ここらはご自身のスキルの熟練具合によって選択して下さい。

場合によっては何かしらのセキュリティ機構がブロックしている場合もあります。
どこのサーバーを利用しているかなどの具体例がないので何とも言えませんが、たいていは他の同じサーバーの利用者等がどこかでどう設定するべきかを書いていると思うので、ここらはググって下さい。

今回の質問と直接関係はないですが

SNSシェアボタンを設置したいと考えています。

これはSNSシェアボタンの設置はカスタマイザーからできると思います。
管理画面>外観>カスタマイズ>SNSから設定

×これはSNSシェアボタンの設置は
○このSNSシェアボタンの設置は

言葉たらずで申し訳ございません。

書き込みとは、外観→カスタマイズ→追加CSSへの書き込みです。

追加CSSを入力後、上部の保存ボタンを押すのですが、「保存しました」にならず更新できません。

Hidekichiさんのおっしゃるのはサーバーのことですよね？
サーバーではなく、wordpressの問題ではないのですか？

シンプリシティ２子テーマを使っています。
サーバはヘテムルです。

ありがとうございます！
キャッシュやプラグインが原因ではないようでしたが、

子テーマのstyle.cssに直接スタイルを書き込むこととします

ありがとうございます！