パン屑リストのアイコンが表示されない

fontawesomeが読み込めてないんでしょうが、質問の内容からはここまでしかわかりません。
なぜそうなるかは色々考えられますが、どれが質問の答えかは何とも言えない所です。

まずキャッシュを疑い、本当にそうなっているかどうかを他人の環境で試すべく、問題が出てるページのアドレスを公開してください。併せてサイトを見れば質問からは読み取れなかった問題がわかるかもしれません。

> スマホではちゃんと表示されているのですが…

単純にまだスマホにキャッシュが効いてるだけかも知れませんし、正しい表示をしているのかも知れません。それを判断するのはキャッシュさせない環境で確かめればよいわけですが、それで確認したとして表示されていない場合は問題の解決にはなりませんし、そもそもそれら確認は質問する前にしておいて欲しい部分でもあります。

PCとスマホで表示が異なるというのは読めますが、どちらが正しい表示をしているかの判断はできませんよね？
それ以前に正しくfontAwesomeが読み込めているかどうかも質問からはわかりません。例えば記事ページで記事タイトル下の投稿日やらの部分は大丈夫かどうかが質問にあったとすれば、fontAwesome自体は読み込めていてパンくずの部分にだけ適用されていないということから、何かしら他の原因を想像したりもできますが、質問からはここらの情報もわかりません。

もしかしたらプラグインが入っているのかも知れないし、何かしらカスタマイズされているかも知れない、というのも想像できますし、前まで表示されていたということからは、表示されなくなった後にやったことは何か？というような事を逆に質問しないといけない場合もあるかも知れません。
ただ今まで表示されていて今日見たら表示されないという場合、記事を投稿するぐらいしかしていないのであればキャッシュが怪しいと思うわけです。

で、キャッシュかーと思いつつそこを調査してキャッシュさせない、あるいはクリアしても尚表示されない場合、キャッシュをクリア(させない環境)でもやっぱり表示されませんでしたという流れになって、また何かしら質問してそれに答えてというのは、カウンセラーならそれでも良いですがあまりに効率が悪いです。

利用されている環境やどういう時にどのような端末で何をしたらそうなったというような説明、実際に出力されている状態、外からは見えないカスタマイザーやプラグイン・カスタマイズの情報そういったものがそろわないとなかなかこうだと答えるのは難しいです。

単純にサイトアドレスを公開してもらうだけで結構な情報がパッとわかったりするもんなんですよ。

色々と情報不足のまま質問してしまい申し訳ありませんでした。
お忙しいところ丁寧に教えていただきありがとうございます。
問題のサイURLはこちらです

http://www.westdorsetconservatives.com/

●PC,スマホ共にキャッシュはクリアした状態です
●他のPC等でも確認済
●使用中のプラグイン
WP Social Bookmarking Light
WP Edit
WordPress Popular Posts
TinyMCE Advanced
Search Regex
Lazy Load
Head Cleaner
All In One SEO Pack
EWWW Image Optimizer
BackWPup
Duplicate Post
Contact Form 7

★大きなカスタマイズはしていません。
ヘッダー画像の表示をＰＣとスマホで違うものが出るように設定しているくらいです。

以上の情報でもし何かわかることがあればよろしくお願いします。

クロスドメイン制約でfontAwesomeの読み込みがブロックされています。テーマの問題と言うよりおそらくサーバー側の問題かと思います。サーバーでhtaccessが触れるなら、

<IfModule mod_headers.c>
  <FilesMatch "\.(ttf|otf|eot|woff)$">
    Header set Access-Control-Allow-Origin "http://アクセスを許可するドメイン"
  </FilesMatch>
</IfModule>

というようなものを書いてAccess-Control-Allow-Originを付与すればよいわけですが、他にもサーバーの設定で何かしらの機能によりブロックされている場合もあります(セキュリティ機能などで)。
何かしらサーバーのマニュアルのようなものがあるならそれらを読んでみるか、同じサーバーで他の利用者が何かしらして問題解決をしていないかどうかをググるほうが良いかと。

例) ロリポ webfont fontAwesome アクセス拒否 等

詳細はサーバーの運営会社に「fontAwesomeが最新firefoxでクロスドメインでアクセス拒否されています。どのようにすればアクセスできるようになりますか？」みたいな感じで問い合わせるのが良いだろうと思います。

またSimplicityのバージョンが1.8.0を利用のようですが1系の開発は1.9.xで終わり現在は2系に移っています。また子テーマを利用されていないようです。1.8.0の利用ということともありテーマのアップデートを考えられていないのであればそのままでもよいですが、テーマは何かしら問題を解決しながらバージョンアップされているのでできるだけ2系を利用されるのが良いです。
そのためには子テーマの利用が必須です。親テーマに直接カスタマイズをするとアップデートでその内容が無くなります。子テーマの利用でcssなどの情報は子テーマから読み込むので回避することができます。

可能であれば別途開発環境(cloud9・別のwordpress環境)などで2系への移行を視野に入れ、親テーマにされているカスタマイズを子テーマに移す作業等をして、問題がクリアされた後本番環境に2系を入れられるのが良いだろうと思います。

質問にあった最近まで見れたのに見れなくなったというのはキャッシュではなく、ブラウザのバージョンアップに伴うセキュリティの問題で、表示されなくなったものと思われます。

とても解かりやすく丁寧にご説明いただきありがとうございます！！！
サーバーの運営会社の方に問い合わせてみます。
Simplicityのバージョンの方も新しいものに変えるよう検討したいと思います。
ありがとうございました<m(__)m>

一応Simplicity公式にも書いてあるようですが、こうすれば直るという解決方法ではありません。

さくらサーバーなどの一部古い環境で、Simplicityソーシャルボタンのウェブアイコンフォントが表示されない問題の対処方法

前の僕のレスを読み直していて、サーバーでwebfontの拡張子に対するhtaccessを考えると、CORS(クロスドメイン制約)だけの問題だろうか…というのも少し思っていたりします。
確かにセキュリティ問題で、あるサーバーから、別のサーバーの内容を読み取れないようにするというのは前からあることです。それを最新ブラウザが以前は警告であったものをブロックに格上げしたのかも知れないというのもわかるような気はするんですが、codepenなんかで編集をしているとwebfontの部分でいつも何かしらエラーが発生している(クロスドメインで)というのは知っていました。

codepen上でもSimplicity公式のcssがブロックされているんですが別途CDNからcssを読み込んだ場合、一応表示されるんですよね。他のスタイルが問題なく読み込めていてwebfontの部分だけ何か言われるのは潜在的に何かしらの問題を抱えているのかも知れないと思ったりもしています。

通常は問題なく使えるので気にはしてないんですけどね。

まぁひとまずはサーバー側に問い合わせをしてみてください。それでも尚解決しない場合は別の方法を考えてみます。