SEOチェキでの質問です。

ブログ名とH1が同じになっているのは、僕がテーマカスタマイザーでそのように設定しているからです。意図通りの動作です。

このh1部分をブログ名にしたい場合は、何かカスタマイズ方法があるのでしょうか？

そのように変更してしまうと、本文部分の一番上の記事のタイトルがブログ名になってしまいますが、それでも良いのですか？

またこのSEOチェキを見ますと「寝ログ」というブログ名が全くでてきません。

記事を読む人には、ブログ名など必要ないと思ったので、あえて設定で表示していないだけです。タイトルに名前をつけてしまうと、SNSでシェアする時にもブログ名がついてしまうので。自分のサイトの場合、そこまでブログ名をアピールしたいわけではないので利用していません。

もしタイトルタグにブログ名を表示させたい場合は、テーマカスタマイザーのSEO設定からそのようにできます。

いえ、気分を害したとかではなく、質問の意味がよくわからなかったです。
上の書き込みでの比較対象と説明があることで、ようやく意味がわかりました。
（例えば、「この製品のボタンは何でこうなっているのですか？」とだけ聞かれるより、「他社のボタンは、こうこうこのようになっているのに、この製品のボタンはなんでこうなっているのですか？」と聞かれた方が質問の意図がわかりやすい感じです。）

上のレスにあるページは、サイトタイトルもH1にしているから、そのようになっています。（記事のタイトルもH1を使用しており複数使用している）
Simplicityの場合は、H1を1つだけ利用することにより、記事タイトルに最も検索エンジンのアルゴリズムの注目を集めたいと考えているので、あえてそのようにしてあります。（Hタグでは基本的にH1が最も重要視されるため。個人的に記事ページではサイトタイトルはそこまで重要でないと考えています。）

サイトタイトルをH1にするには、header-logo.phpの以下の部分をH1タグに変更すればできます。

<p id="site-title">
  <?php echo $site_title ?>
</p>

p→h1にするだけですよ。