できないのは、テキストウィジェットの処理の中に、ブログカードで表示する内容がないからだと思うので、ウィジェットを継承しなりしてブログカードを表示できるようにすればできなくはないと思うんですが、ウィジェットはほぼプラグインと同じようなことをしないといけないので、wordpressをよくわかっていないとなかなか難しい部分でもあります。
また、4.2から?かと思うんですが、ウィジェットの処理が以前のものからPHP7等へ向けて変更された部分もあり、手を出すと色々大変になる部分でもあります。
ブログカードの処理自体はfunctions.phpに書いてあるので、ウィジェット内でアドレスをどのように処理するかを書けば良いと思うんですけれども、オリジナルでウィジェットにて入れられるような箇所はサイドバー部分を除きたいていアドレス入れるだけでブログカードになるかと思うので、必ずしもウィジェットである必要もないような気もします。
方法的には、目的のサイトのアドレスを入れるとそのサイトのタイトルやらを拾って表示するわけですから、wp_remote_getやwp_remote_postなどで取得してデータを整形すれば、あとはcssでデザインみたいな感じでいける部分です。
また現在のブログカードは本文中に一行アドレスがある時みたいな条件になっていますが、これをうまく変更すればどこでもブログカードがいけるような気もします。
ウィジェットにしないといけない理由と、どういう目的(利用方法)かがわかれば、何かしら解決策は他にもあるかも知れません。相手がブログなどであればrssをサイトで読み込んで、そこから処理をするという方法もあります。